EASY MATH

S

• (x-3)²/4-(2x-1)²/16=35/16         risultato: x=0
• (3x-1)²-4x(x+2)=5x(x-1)+10      risultato: x= -1
• 1/5(x-11)-2x(1/3-1/5)=3/4x-2-x-1/60x       risultato: x=1

un numero e' considerato monomio (In greco MONOS significa uno solo) cioe' noi consideriamo piu' cose come un tutto unico: -2a²b e' un monomio ed il numero -2 ha la proprieta' di essere a²b cioe' -2 moltiplicato a moltiplicato a moltiplicato b infatti e' per nostra comodita' che noi scriviamo ad esempio: 2a³ mentre dovremmo scrivere: 2×a×a×a.

Da notare che il segno di prodotto tra il numero e le lettere e tra le lettere e' sottointeso; ogni volta che potrai toglierai il simbolo del prodotto fra i fattori del prodotto stesso ;inoltre dovrai usare le seguenti convenzioni:
-non scrivere il numero 1 davanti alle lettere cioe' invece di scrivere -1a²b scriverai -a²b
-non scrivere il segno + davanti ad un monomio cioe' invece di scrivere +7ab² scriverai 7ab²
devi mettere le lettere in ordine alfabetico .
Quindi invece di scrivere +1ba scriverai semplicemente ab

NOTA: le lettere piu' usate sono di solito le prime dell'alfabeto a, b, c,.. ma per far capire agli studenti che le lettere possono essere qualunque talvolta di usano x. y, z, t.(queste a dire il vero servono per abituarsi ai problemi dove al posto di una lettera devi trovare un numero) e talvolta addirittura m, n, p,...

Nel monomio si distinguono 3 parti: -3a2b3
il segno -   il numero 3  le lettere a2b3
intuitivamente possiamo dire che:
-sui segni devi usare le regole studiate nei numeri interi relativi
-sui numeri devi usare le regole dei numeri razionali (frazioni)
-sulle lettere devi usare le regole delle potenze

GRADO DI UN MONOMIO:       

Il numero delle lettere che fanno parte del monomio si chiama grado del monomio.

esempio:

2abc ha grado3 mentre 2a³b²c ha grado 6 in totale perche' a³=aaa e' formato da tre lettere b²=bb e' formato da due lettere
mentre c e' una lettera sola ;
Quindi il monomio ha grado 3 rispetto alla lettera a ;grado 2 rispetto alla lettera b ;grado 1 rispetto alla lettera c ;in totale rispetto a tutte le lettere ha grado 6 .

SOMMA E DIFFERENZA FRA MONOMI:

Infatti puoi sommare fra loro dei monomi solamente se sono dello stesso tipo cioe' se dopo il numero hai le stesse lettere, altrimenti se proprio vuoi indicare che quei monomi li vuoi considerare insieme puoi mettere una parentesi.Fai attenzione che le lettere dopo i numeri oltre ad essere uguali devono anche avere gli stessi esponenti. 

esempio:

2a + 3b = (2a+ 3b)
2a + 3a = 5a

DUE MONOMI SONO SIMILI SE HANNO LA STESSA PARTE LETTERALE

Regola: Puoi sommare due monomi se sono simili e in tal caso farai la somma dei coefficienti numerici (i numeri davanti alle lettere) senza modificare la parte letterale .

Esempi di somma:
2a+3a=5a
3a+a=4a (ricorda che 1 davanti ad a e' sottointeso)
3a+2b=3a+2b oppure (3a+2b)
3a²b+2ab+5a²b=8a²b+2ab

DIFFERENZA FRA MONOMI:

PER LA DIFFERENZA LE REGOLE SONO LE STESSE CHE PER LA SOMMA INFATTI BASTERA' SOTTRARRE INVECE DI SOMMARE

esempio:

5a³b²-2a³b²=3a³b²

mentre 5a³b²-2a²b² resta cosi' perche' i monomi non hanno la stessa parte letterale (le lettere sono le stesse ma non sono uguali le potenze).

QUINDI D'ORA IN AVANTI QUANDO PARLEREMO DI SOMMA SI INTENDERA' LA SOMMA ALGEBRICA, CIOE' SIA LA SOMMA CHE LA DIFFERENZA.

PRODOTTO FRA MONOMI:

Per fare il prodotto fra monomi devi seguire queste semplici regole:

1) Il segno va moltiplicato con il segno secondo le regole dei segni della moltiplicazione fra i numeri interi. (se il segno non c'e' e' sottointeso +)

2) Il numero (coefficiente numerico) va moltiplicato con il numero secondo le regole del prodotto dei numeri razionali (se il numero non c'e' e' sottointeso 1)

Le lettere vanno moltiplicate con le lettere secondo le regole delle potenze (se la lettera non c'e' e' sottointeso a°b° ecc..).

esempio:

(-3a²b)(+4ab²)=

- moltiplicato + e' uguale a -

3 moltiplicato 4 e' uguale a 12

a² moltiplicato a e' uguale ad a³

b moltiplicato b² e' uguale a b³

(-3a²b)(+4ab²)=-12a³b³

Se poi devi fare il prodotto fra piu' monomi prima moltiplica il primo per il secondo, poi quello che viene per il terzo e cosi' via.

DIVISIONE O QUOZIENTE FRA MONOMI:

PER DIVISIONE SI INTENDE L'OPERAZIONE, PER QUOZIENTE IL RISULTATO ;

Per fare il quoziente fra monomi devi seguire queste semplici regole come per il prodotto; infatti il quoziente e' ancora un prodotto ( anche se e' visto alla rovescia; come una discesa vista dall'altra parte e' una salita).

Il segno va diviso (moltiplicato) con il segno secondo le regole dei segni della moltiplicazione fra i numeri interi.Infatti (se il segno non c'e' e' sottointeso +).Il numero (coefficiente numerico) va diviso per il numero secondo le regole del quoziente dei numeri razionali (se il numero non c'e' e' sottointeso 1).Le lettere vanno divise con le lettere secondo le regole delle potenze (se la lettera non c'e' e' sottointeso a°b° ecc..).

esempio:

(-6a²b³c):(+2ab²)=

- diviso (moltiplicato) + e' uguale a -

6 diviso 2 e' uguale a 3

a² diviso a e' uguale ad a

b³ diviso b² e' uguale a b

c non viene diviso (oppure se vuoi c¹viene diviso per cº) quindi resta uguale

(-6a²b³c):(+2ab²)= -3abc

Se poi devi fare il quoziente fra piu' monomi prima dividi il primo per il secondo, poi quello che viene per il terzo e cosi' via

ELEVAMENTO A POTENZA DI MONOMI :

Se ricordi che l'elevamento a potenza e' semplicemente una moltiplicazione ripetuta tante volte quant'e' l'esponente puoi trovare da solo quali sono le regole per l'elevamento a potenza cioe' al solito devi moltiplicare tra loro i segni, i numeri, le lettere.

Per il segno, se e' + non vi sono problemi: resta +

se e' - devi vedere se l'esponente e' pari o dispari

moltiplicando il - per un numero pari di volte (2,4,6,8,..) il risultato e' +

Una piccola nota, la forma italiana e' piuttosto inesatta; in matematica moltiplicare qualcosa 6 volte non significa fare 6 moltiplicazioni ma fare il prodotto fra 6 fattori e quindi le moltiplicazioni sono 5. Il pari si riferiscve al numero di fattori non al numero di moltiplicazioni .

Ricorda che per moltiplicare ad esempio il - 4 volte: (-per-per-per-) devi moltiplicare il primo - per il secondo - , quello che viene va moltiplicato per il terzo - e il risultato va moltiplicato per il quarto - ;moltiplicando il - per un numero dispari di volte (3,5,7,9,..) il risultato e' - ;

Il numero (coefficiente numerico) va moltiplicato con se stesso tante volte quant'e' l'esponente secondo le regole del prodotto dei numeri razionali

Le lettere vanno moltiplicate con le lettere stesse tante volte quant'e' l'esponente ma e' meglio usare la regola di potenza di una potenza che troverai nelle regole delle potenze

MASSIMO COMUN DIVISORE FRA MONOMI:

Intuitivamente, anche se non e' del tutto esatto per capire il concetto di M.C.D. fra monomi puoi pensare al seguente esempio:

Siete tre amici e volete organizzare una vacanza insieme; quanto mettete in comune?

Perche' nessuno ci rimetta ognuno dovra' versare nella cassa comune la stessa cifra e poiche' siete in tre se il primo dispone di 100 mila lire, il secondo di 200 mila ed il terzo di 300 mila metterete assieme 100 mila lire a testa.

Questo e' il concetto di M.C.D. quando i numeri (i simboli matematici) sono in forma di prodotto (come nei monomi) devi mettere in comune quello che c'e' di uguale

NOTA:attenzione nel Massimo Comun Divisore la parola che conta e' DIVISORE non MASSIMO cioe' il M.C.D. e' generalmente piu' piccolo dei monomi di partenza, quindi non farti portare fuori strada dalla parola MASSIMO .

Allora per fare il M.C.D. prima di tutto devi scomporre in fattori il numero davanti ai monomi poi sceglierai quello che hanno di uguale.

Il minimo comune multiplo e' il piu' piccolo fra i multipli comuni, cioe' devi trovare un monomio tanto grande che possa essere diviso fra tutti i monomi che consideri (e questo e' il multiplo) ma di monomi cosi' ce ne sono tanti e tu devi prendere il piu' piccolo (e questo e' il minimo), in pratica il minimo comune multiplo per essere divisibile deve contenere tutti i monomi di partenza quindi deve essere o piu' grosso od almeno uguale al monomio di partenza cioe' dovremo prendere tutti i fattori con l'esponente piu' alto.

 esenpio:

Trovare il m.c.m. fra 6a²b³c e 4ab² :

Allora il multiplo tra 6 e 4 e' 12 poi tra a² ed a sceglieremo a² ;

Tra b³ e b² sceglieremo b³ .

Nel primo c'e' c e nel secondo non c'e' quindi prendiamo c ,qindi il minimo comune multiplo e' 12a²b³c .

6³=6x6x6           il 6 si chiama base, il 3 si chiama esponente e 6³ tutto quanto si chiama potenza

Per rendere la definizione piu' generale occorre usare le lettere, allora, poiche' talvolta useremo x come lettera sostituiamo il segno di prodotto x con il simbolo ·

 esempio:

 a³ sara' a·a·a

piu' in generale aⁿ sara' a·a·...·a ove i puntini indicano che la moltiplicazione e' fatta tante volte quant'e' l'esponente cioe' n volte.

P

il quoziente di due potenze con la stessa base e' una potenza che ha per base la stessa base e per esponente la differenza degli esponenti.

esempio:

Se devo dividere 2⁸ :2⁵ poiche'2⁸=2x2x2x2x2x2x2x2 e 2⁵=2x2x2x2x2 otterrai 2⁸/ 2⁵ =
(2x2x2x2x2x2x2x2)/ (2x2x2x2x2)=
ricordando che nelle frazioni puoi togliere sopra e sotto gli stessi fattori (solo quando il numeratore e il denominatore sono in forma di prodotto) restano solo tre 2 al numeratore (sopra)
=2x2x2=2³=2 ^8-5
quindi per fare il quoziente quando hanno la stessa base basta sottrarre gli esponenti
ora rendiamo il risultato piu' generale possibile usando le lettere
a^r/a^s= (a·a·...·a )/( a·a·...·a)=
dalle r lettere di sopra devo togliere le s lettere di sotto (cio' potro' farlo solo se r e' piu' grande di s) restera' quindi
= a·a·...·a=a^r-s
Per trovare la regola basta leggere il primo termine e l'ultimo termine dell'uguaglianza
se r>s allora a ^r/a^s=a^r-s

Se devo fare (2³)⁴=
poiche' prima devo sempre considerare le operazioni che coinvolgono tutto dovro' considerare la potenza quattro, cioe'

=2³x2³ x2³x2³=
e poiche' 2³=2x2x2otterrai
=( 2x2x2)x( 2x2x2)( 2x2x2)x( 2x2x2) =

=2x2x2x2x2x2x2x2x2x2x2x2=2¹²=2^3x4 

Quando devo eseguire la potenza di un prodotto talvolta puo' essere utile trasformarla nella potenza dei fattori

esempio:

 se ho(2x3)⁴
talvolta (ad esempio in una frazione per semplificare) mi puo' servire fare la potenza senza eseguire la moltiplicazione, cosi' otterro'
(2x3)⁴=(2x3)x(2x3)x(2x3)x(2x3)=
=2x3x2x3x2x3x2x3=
=2x2x2x2x3x3x3x3=
ho messo assieme assieme i 2 e i 3 (proprieta' associativa della moltiplicazione)
=2⁴x3⁴
Cioe' per fare la potenza di un prodotto basta fare la potenza dei singoli fattori;
Ora, per rendere il risultato piu' generale possibile passiamo alle lettere(in questo caso mettiamo sempre i segni di prodotto · anche se talvolta potremmo sottointenderli);

Usiamo 3 lettere:
(a·b·c)ⁿ=
=(a·b·c)·(a·b·c)·...·(a·b·c)=
i puntini in basso indicano che di parentesi moltiplicate ce ne sono n
a·a·...·a·b·b·...·b·c·c·...·c=(proprieta' associativa della moltiplicazione)
di a ce ne sono n, di b ce ne sono n e di c ce ne sono n
=aⁿ·bⁿ·cⁿ
Per trovare la regola basta leggere il primo termine e l'ultimo termine dell'uguaglianza
(a·b·c)ⁿ=aⁿ·bⁿ·cⁿ
cioe' la potenza di un prodotto e' uguale al prodotto delle potenze dei fattori per vedere se hai capito bene prova a trovare la regola nei seguenti casi:
(a·b)ⁿ=
(x·y·z)^s=
(a·b·c·d)ⁿ=